?

Log in

(на этот раз совсем простой)

Комплексные числа принято представлять в векторной форме в системе координат, где ось ординат домножена на i. Отсюда, число 1+2i в этой системе координат будет представлено вектором из начала координат в точку (1, 2i).

Вроде бы все понятно, но если присмотреться, prima facie возникает интересная коллизия. При сложении векторов в таком пространстве вторая координата сохраняет домножение на i. Если к вектору 1+2i прибавить вектор 2+3i то получится вектор 3+5i.

Но вот при расчете длины вектора домножение на i почему-то опускается и сложение осуществляется по теореме Пифагора c использованием только значения x и y. Таким образом, длина вектора 1+2i получается равной √5. Но если бы домножение не было опущено при расчете, длина этого вектора по теореме Пифагора получилась бы равной √-3, что, понятное дело, бессмысленно.

Так вот вопрос, который здесь очевидным образом возникает: чем обосновывается отбрасывание домножения второй координаты на i при расчете длины комплексного вектора? 
Я уверен, что мне за этот постинг достанется от профессиональных математиков, но, тем не менее, я его запощу (не спрашивайте, каким образом я заинтересовался этой темой - так получилось).

Одним из применений комплексных чисел в математике является объяснение того, почему не сходятся ряды Тейлора некоторых некомплексных функций. В качестве примера в одном из видео Coursera рассматривается функция y=1/1+X^2. Радиус круга сходимости ряда Тейлора с центром в точке Х=0 у этой функции равен 1 (что означает, что такой ряд аппроксимирует эту функцию только в интервале X от -1 до 1). При этом в отличие от функции y=1/1-X^2, которая также имеет радиус сходимости ряда Тейлора с центром в точке Х=0 равный 1, функция y=1/1+X^2 в декартовой системе координат везде определена (функция y=1/1-X^2 не определена в точках X=1 и X=-1).

Отсюда, по идее, должен следовать вывод, что функция y=1/1+X^2 плохо аппроксимируется рядом Тэйлора по какой-то иной причине, нежели функция y=1/1-X^2, но вместо этого почему-то делается вывод, что первая функция должна быть в каких-то точках не определена. Дальше задается вопрос, в каких же точках она не определена и выясняется, что она не определена в точках Х=i и X=-i (i=√-1).

Проблема этого рассуждения состоит в том, что оно (по крайней мере, в том виде, в котором оно приводится в лекции) является примером ошибки begging the question. Из того, что можно придумать вымышленные значения i и -i, в которых функция не определена, не следует, что она плохо аппроксимируется рядом Тейлора именно потому, что она не определена в точках с этими вымышленными значениями X.

Чтобы показать всю абсурдность приведенного выше рассуждения, возьмем похожее по структуре рассуждение не из математики. До 1865 г. афроамериканцы в южных штатах были в среднем намного беднее белых, потому что они были рабами. Сегодня афроамериканцы в южных штатах в среднем опять же намного беднее белых. Можно ли выдумать неких субъектов, чьими рабами они сейчас являются? Конечно. Пусть это будут рептилии с планеты Нибиру. Ergo, афроамериканцы сегодня в среднем существенно беднее белых, потому что они рабы рептилий с планеты Нибиру.

В связи с этим, у меня возникает вопрос: есть ли какое-то рассуждение, которое доказывает, что причиной плохой аппроксимации функции рядом Тэйлора обязательно должна являться ее не-определенность в каких-то точках? Если ответ на этот вопрос является отрицательным, это демонстрирует интересную вещь: что вымышленное число i является своего рода интеллектуальной заглушкой.


 
Размышления о специальной теории относительности (СТЭ) в связи с предыдущим постингом на эту же тему подтолкнули меня к тому, чтобы поискать нормальное научное изложение вопроса. Искать долго не пришлось: я нашел на Ютьюбе запись лекции одного из ведущих современных физиков, Леонарда Зюсскинда.



Перед просмотром видео я думал, что его объяснение развеет мои сомнения по поводу наличия у теории физического содержания, но, к моему большому удивлению, этого не произошло, хотя, возможно, в мои рассуждения вкралась какая-то простая ошибка, которой я не вижу.

Зюсскинд в этой лекции объясняет СТЭ через математическую модель гипотетической ситуации, где стационарный наблюдатель (допустим, я) наблюдает за движущейся мимо него слева-направо системой отсчета с лучом света и тремя движущимися вместе с ней с одинаковой постоянной скоростью людьми (слева-направо: Фред, Мэри, Сеймур). Фред и Сеймур пытаются синхронизировать свои часы (от Мэри каждого из них отделяет равное расстояние) посредством одновременного (в их системе отсчета) посылания луча света в сторону Мэри.

Я не буду углубляться в математические построения, но отмечу, что Зюсскинд демонстрирует, что для того чтобы Фред и Сеймур смогли синхронизировать свои часы в их системе отсчета, нужно, чтобы для меня Сеймур послал луч света в сторону Мэри позже, чем это сделает Фред. Из этого в СТЭ делается вывод об осмысленности синхронизации часов только в рамках одной инерциальной системы отсчета.

Указанное условие должно быть выполнено, потому что, согласно базовому допущению СТЭ, Мэри в реальности не удаляется от луча света Фреда и не приближается к лучу света Сеймура, хотя она удаляется от точки пространства, из которой Фред выпустил луч света и приближается к точке пространства, из которой это же сделал Сеймур.

Собственно, этот момент является ключевым пунктом, который вызывает у меня сомнения в наличии у СТЭ какого-либо физического смысла. Ведь я бы в описанной гипотетической ситуации наблюдал происходящее таким образом, что свет шел бы дольше от Фреда к Мэри, чем от Сеймура. Из этого прямо следует отнюдь не вывод, что де-синхронизация между моей системой отсчета и движущейся системой отсчета реальна, а что у меня имеет место некая оптическая иллюзия, которая заставляет меня видеть движение света совсем не так, как он на самом деле движется. Единственный другой вывод, который я вижу здесь, состоит в том, что допущение о невозможности удалиться или приблизиться к выпущенному лучу света на самом деле неверно, что соответствовало бы здравому смыслу. В любом из этих двух случаев СТЭ описывает несуществующий мир (либо иллюзорный, либо фантастический).
Я когда-то уже приводил в этом журнале эту цитату из книги Брайана Грина "Элегантная Вселенная" про теорию относительности, призванную на гипотетическом примере объяснить, как происходит постулируемое теорией замедление времени.
Цитата Грина...Collapse )


Но сейчас у меня в связи с ней возник серьезный вопрос. Из гипотетического примера понятно, почему с точки зрения стороннего наблюдателя замедляется время достижения светом президента Бэкляндии. Но дальше по тексту Грин, основываясь на этом и похожем примере, делает вывод, что замедление времени при увеличении скорости является универсальным для всех процессов. Каким образом этот вывод следует, мне совершенно непонятно. В связи с этим вопрос: как теория относительности объясняет замедление всех процессов, а не только тех, которые связаны с наблюдением за движущимся светом?
К большому сожалению, большинство философских дискуссий происходит в номиналистских терминах. В частности, по поводу праксеологии доминирующей идеей является то, что аксиома деятельности уже содержит в себе многие положения праксеологии и что праксеология является лишь логической разверткой аксиомы деятельности. Мизес здесь проводил параллель с теоремой Пифагора, которая, согласно ему, содержится в самом определении прямоугольного треугольника.

На самом деле Мизес был не прав по обоим пунктам. Из аксиомы человеческой деятельности не выводится логически ничего, кроме базовой структуры выбора, а из определения прямоугольного треугольника не выводится теорема Пифагора. Чтобы осознать второе, достаточно взглянуть на любое имеющееся доказательство теоремы Пифагора (см. здесь). Ни одно из них не формулируется на примере одного лишь прямоугольного треугольника. Во всех из них фигурирует как минимум один прямоугольный треугольник в соотношении с другими геометрическими фигурами. А это уже не чисто логический вывод.

Альтернативой логицизму как в математике, так и в праксеологии является аристотелевский реализм. Вот отличный пример этого направления в философии математики. 

Марсель и иммиграция

Мой журналистский опус про Марсель, где я сейчас живу, и иммиграцию.

Вопрос к программистам

У меня довольно неожиданный вопрос. Мой отец (64 года) сейчас находится на пенсии, но хотел бы заниматься чем-то по своей основной специальности (программирование), которую он, по большому счету забросил в начале Перестройки, хоть и время от времени чего-то делал для знакомых.

На работу программистом на полную ставку его, понятное дело, в связи с возрастом не берут. Из современных языков программирования он знает C++. Может ли он в нынешних условиях стабильно иметь какие-то заказы? Если да, то где ему их лучше искать? Если нет, какой язык программирования ему лучше освоить, чтобы иметь стабильные заказы?

Заранее спасибо за советы.


 
Встроенное видео - шарлатанщина или в нем есть элемент здравого смысла?

Вопрос

Кто-нибудь знает, можно ли добиться от российского консульства за рубежом, чтобы оно вовремя выполнило два нужных мне действия? Мне нужно, чтобы российское консульство в Марселе заверило перевод свидетельства о рождении (система на сайте позволяет мне записаться только на октябрь(!)) и инициировало замену загранпаспорта (электронная запись на это вообще на февраль(!)), а срок действия паспорта истекает в ноябре. Буду очень благодарен за советы.

Profile

citizen_global
Daniil Gorbatenko

Latest Month

November 2013
S M T W T F S
     12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930

Syndicate

RSS Atom
Powered by LiveJournal.com
Designed by Tiffany Chow